http://www.gruppe12.de/Themen/Naturwissenschaft/Die%20Falle%20der%20Unendlichkeit.htm
"Wenn man unendlich viele dimensionslose Punkte aneinander reiht, so erhalten diese eine Dimension. Der Zahlenstrahl wir gedacht als Aneinanderreihung unendlich vieler dimensionsloser Punkte. Ebenen sind unendliche viele Geraden, nebeneinandergelegt usw."
Der Trick liegt darin, dass etwas absolut Unvorstellbares als Vorstellung dient, nämlich "unendlich" viele. Eine Mathematik die die Basis der Logik verlässt, um in wilder Spekulation des "unendlich" eine wirksame Gedankenkonstruktion zu erhalten, verfehlt ihre eigentliche Aufgabe, die Wirklichkeit quantifizierbar zu machen. In der Wirklichkeit gibt es keine unendliche Aneinanderreihung dimensionsloser Punkte, wozu also dieses Konstrukt?
Das Raum/Zeit Paradoxon
Wir stellen uns einen absolut alltäglichen Vorgang vor: Sie bzw. ich heben den rechten Arm, den Sie/ich vorher auf dem Tisch liegen hatten. Das ist nichts besonderes. Wir "wissen", dass wir den Arm kontinuierlich heben, er "ruckelt" nicht, und dass wir für jeden beliebigen Zeitpunkt während der Bewegung angeben könnten, wo sich der Arm gerade befindet. Das ist scheinbar ganz simpel, und doch lässt sich diese simple Vorstellung nur unter Annahme einer Unendlichen Teilbarkeit von Raum und Zeit in dimensionslose Raum- und Zeitpunkte erklären.
Wir nehmen einen beliebigen Zeitpunkt, also genau 1 Sekunde nach Beginn des Armhebens, zu dem sich der Arm um genau 10 cm nach oben bewegt hätte. Eine scheinbar simple Annahme. Scheinbar deshalb, weil wohl der Ort unseres Armes nie ganz exakt bestimmbar ist, man bedenke die Schwingungen der Atome, die Orte der Elektronen, die die äußerste Grenze unseres Armes bestimmen sollen. Aus der Teilchenphysik wissen wir, dass so eine genaue Ortsbestimmung praktisch unmöglich ist und auch theoretisch unter Berücksichtigung der Quantenmechanik nicht möglich ist. Wir wollen jedoch diese "störende" Genauigkeit mal außer acht lassen. Wir denken uns einfach, dass wir einen Punkt am Zeigefinger markiert haben, der selber dimensionslos sei, so dass wir diesen Ort exakt angeben könnten. Mit der Angabe der Zeit hätten wir dasselbe Problem, so genaue Uhren gibt es nicht, aber wir denken uns ja keine Uhr zum messen sondern einen Zeitpunkt. Unter Zuhilfenahme zweier praktisch und theoretisch unmöglicher Gedankenannehmen haben wir nun eine Punkt an unserem Zeigefinger, der sich nach exakt 1 Sekunde genau 10 cm über dem Tisch befindet. Jetzt brauchen wir noch Bewegung. Auch ganz simpel, nach einer weitere halben Sekunde befindet sich der Punkt genau 15 cm über dem Tisch. Unter Annahme einer vollkommen kontinuierlicher Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit können wir jetzt rechnerisch zu jedem beliebigen Zeitpunkt den Ort des Punktes errechnen. Vorausgesetzt natürlich, dass man Raum und Zeit zumindest rechnerisch beliebig teilen kann, was nur geht, wenn sie aus unendlich vielen aneinandergereichten dimensionslosen Punkten bestehen, zumindest rein rechnerisch.
Diese Unendlichkeit besteht zuallererst in der Mathematik, wir wissen längst, dass das praktisch, physikalisch anders ist. Aber die Unendlichkeit wurde erdacht, als es noch keine Teilchenphysik gab und sie war mehr eine logische und weltanschauliche Notwendigkeit. Das Paradoxon besteht darin, das zig-trilliarden aneinandergereihte dimensionslose Punkte exakt null Ausdehnung besitzen. Dimensionslos in der Mathematik bedeutet "null". Der Punkt eins/eins im x/y Koordinatensystem hat die Ausdehnung null. Wir können diese Ausdehnung mit jeder beliebig großen Zahl multiplizieren und das Ergebnis bleibt null. Ja, wenn wir diesen Punkt mit der Anzahl aller Atome, ja mit der Anzahl aller Elementarteilchen des Universums multiplizieren würden, so bliebe er dennoch ohne jede Ausdehnung.
Aber wie sagen ja "unendlich" und meinen damit unvorstellbar unendlich viele. Und die ergeben dann zwischen 1 und 3 auf dem Zahlenstrahl genau die Ausdehnung zwei. So weit so gut. Dieses System schiene mir dann akzeptabel, wenn diese unendlich vielen quantifizierbar wären dergestalt, dass doppelt so viele unendlich viele Punkte dann eine Ausdehnung von 4 hätten. Es gäbe dann mehr oder weniger viele unendliche Punkte. Und hier liegt das Problem und Paradoxon: Es gibt nur unendlich, dazu kann es keine Steigerung geben, weil unendlich selber eine absolute Größe darstellt, die durch nichts begrenzbar ist. Das Beispiel mit der Verdopplung der unendlich vielen Punkte setzt jedoch eine Begrenzung der Punkte zwischen 1 und 3 voraus. Unendlich ist nicht quantifizierbar. Es müsste jedoch quantifizierbar sein,. um beim Zahlenstrahl einen Sinn zu ergeben. Das ist das Paradoxon.
Missbrauch der Unendlichkeit
Die Vorstellung der Zeit ist für uns die Vorstellung von Unendlichkeit, ebenso von Raum. Das Universum mag begrenzt sein, aber das muss ja nicht für Raum selbst gelten, und eine Begrenzung der Zeit ist schwer vorstellbar, würde es doch bedeuten, dass es kein davor vor dem Anfang und kein danach nach dem Ende gäbe. Eine echte Begrenzung von Raum geht einher mit der Begrenzung von Zeit. Wo kein Raum, da keine Zeit und umgekehrt. Also sind entweder Raum und Zeit begrenzt oder unbegrenzt. Nach gegenwärtigen Wissenstand eher begrenzt. Raum und Zeit bilden gewissermaßen eine Blase, nämlich unser Universum. Raum und Zeit existieren nur innerhalb dieser begrenzten Blase. Nun, wie dem auch sei, endlich oder unendlich, so besteht das Universum aus einem ausgedehnten Raum. Dass etwas ausgedehntes unendlich oft nebeneinadergereicht unendlich groß ist, lässt sich nachvollziehen. Das Ergebnis ist dann eben etwas unbegrenztes. Es geht hier also nicht um das endgültige Aus für "Unendlich", sondern um das Aus für unendlich teilbar. Hier liegt das wesentliche Missverständnis. Das Unendliche Universum ist unendlich teilbar, natürlich, 10 mal unendlich geteilt durch zehn ergibt unendlich, zehn mal unendlich geteilt durch unendlich ergibt zehn. Das ist für mich einfache und reine Logik. Sie folgt den üblichen Grundsätzen der Logik und der Algebra. Dieser Ansatz findet jedoch in der Mathematik keine Anwendung. Sobald unendlich als Ausdruck in einer Formel erscheint, sind Ergebnisse nicht mehr berechenbar. Das heißt, "10 mal unendlich ist kleiner als 1000 mal unendlich" ist nicht falsch! aber auch nicht richtig. Es fragt sich, wieso die Mathematik einen Begriff zulässt, eine Größe, die alle Mathematik und Logik negiert. Der Trick mit der Unendlichkeit erfreut sich so allseitiger Beleibtheit um unbeweisbares frei postulieren zu können, getreu der Devise: Im Unendlichen ist alles möglich und das Gegenteil nur schwer beweisbar. Typisches Beispiel: Der Nachweis, dass die Mandelbrotmenge in der unendlichen Zahlenebene eine Einheit darstellt, alle Teile sind miteinander verbunden. Für yi=0 liegen Punkte innerhalb der Mandelbrotmenge, die sich vollkommen chaotisch verhalten (allerdings innerhalb der Grenze vom Betrag 2) und doch werden diese Punkte gleich behandelt, wie Punkte mit eindeutig unchaotischen Verhaltens. Hauptsache, die Menge entspricht den gewünschten Vorstellungen.
Grundregeln der Unendlichkeit/ 1. Ansatz
Eine unendliche Große Menge lässt sich nicht beliebig teilen, sondern nur in die Teile, die unendlich oft vorkommen. Voraussetzung für diese Teilbarkeit ist die vorherige Multiplikation. Eine wie auch immer begrenzte Menge, kann nicht aus unendlich vielen Teilen bestehen. Der Zahlenstrahl ist zwischen 1 und 3 begrenzt, also auch die Menge der Punkte, die er umfasst!
Anwendung des 1. Ansatzes auf den Zahlenstrahl
Wir denken uns wieder den Zahlenstrahl und den Abschnitt zwischen 1 und 3 mit der Ausdehnung 2. Gemäss obigen Ansatz ist dieser Abschnitt nicht unendlich teilbar, da begrenzt. Wir teilen nun den Abschnitt einfach durch eine sehr große Zahl, 10 hoch 99 und erhalten so eine riesige Zahlenmenge, mit der sich alle physikalischen Phänomene ausreichend quantifizieren ließen. Jeder dieser sehr kleinen Abschnitte hätte nun eine begrenzte Ausdehnung und würde direkt an den nächsten Abschnitt anschließen. Das klingt ja ganz einfach. Aber, wie groß ist der Abstand zwischen zwei Abschnitten? Nun, null. Wir nehmen an, dass zum Zahlenstrahl ja eben genau die Punkte gehören, die zwischen den Abschnitten liegen. Also der Punkt eins soll ja auf dem Zahlenstrahl liegen. Der Strahl bestünde dann aus Punkten ohne Dimension, die jeweils durch Abschnitte mit Dimension voneinander getrennt werden, wobei diese Abschnitte nicht zum Zahlenstrahl gehören würden.
Die Singularität
Gemäß obigem Ansatz, gäbe es also Singularitäten mit der Ausdehnung null. Nun wäre es ein Gesetz der Logik, zu sagen, dass zwischen 1 und 3 unendlich viele Singularitäten passen würden. Für dimensionslose Punkte gibt es keine Begrenzung der Anzahl auf einen endlichen Abschnitt bezogen. Dies widerspricht dem 1. Ansatz, da innerhalb einer Begrenztheit ja keine Unendlichkeit vorkommen soll. Also könnte der Ansatz erweitert werden dadurch, dass man sagte: Singularitäten können unendlich oft multipliziert werden, ergeben aber auch dann keine Ausdehnung. Das erscheint mir aber ausgesprochen willkürlich. Wenn es Singularitäten gibt, zumindest theoretisch, dann kann man diese auch direkt aneinander reihen, es fehlt die Begründung für die Notwendigkeit der Dimensionshaften Abstände. Es ist logisch nicht konsequent, unendlich kleine Singularitäten zuzulassen und diese in ihrer Anzahl durch willkürlich gesetzte Abstände zu begrenzen. Die Begrenzung muss schon in den Singularitäten selber zu finden sein.
Die physikalische Singularität - Das schwarze Loch
Die Mathematik soll ja die physikalische Welt quantifizierbar machen, also nehmen wir auch diese, um hieran die Probleme der Singularität zu untersuchen. Hawkins sagte, dass eine Masse, die groß genug ist, nach erreichen des Schwarzschildradius zu einer Singularität zusammenstürzen würde. Die Fiktion der Singularität befindet sich auch in den Köpfen unserer größten Denker. Ich vertrete jedoch die Auffassung, dass gerade in diesem Bild des Zusammensturzes, der Fehler und im Erkennen des Fehler die Lösung des Paradoxons von Raum/Zeit, Ausdehnung, Unendlichkeit und Punkt liegt.
Mit erreichen des Schwarzschildradius, hat die Masse eine so hohe Beschleunigung, dass Raum und Zeit aufhören zu existieren. Wo keine Zeit mehr vergeht, da ist auch keine Bewegung und kein Raum. Mit erreichen des Schwarzschildradius hört nach der Theorie jede Form der Schwingung auf, und damit auch jede Form von Bewegung. Wie soll ohne Zeit und Raum eine Zusammensturz zur Singularität stattfinden? Es gibt dort definitiv keine Bewegung mehr. Aber auch keinen Raum. Das heißt: Das zwischen zwei Orten auf dem Schwarzschildradius kein Raum existiert. Das schwarze Loch ist eine Singularität mit erreichen des Schwarzschildradius und kann nicht weiter zusammenstürzen. Innerhalb der Schwarzschildradius gibt es keine Abstände mehr, nur von außerhalb betrachtet. Das schwarze Loch ist also zugleich eine Singularität ohne jede Ausdehnung und ein Kontinuum mit Ausdehnung. Aus der Perspektive des schwarzen Loches ist das Universum drum herum jedoch eine Singularität. Mit zunehmender Beschleunigung schrumpft das Universum immer weiter zusammen bis es bei Ereichen des Schwarzschildradius zu einer Singularität wird. Ein Raumschiff, das in ein schwarzes Loch "fiele", würde irgendwann bei Annäherung an den Schwarzschildradius, das Schrumpfen des Universums erleben und zugleich die Ausdehnung von ihm selbst. Sehr paradox, aber in Überstimmung mit den Theorien! So merkwürdig es scheint, so folgt:
Grundregel der Unendlichkeit 2. Ansatz
Die Ausdehnung eines Körper durch Dilatation führt zur Schrumpfung desselben aus der Perspektive des Raumes, in dem er sich ausdehnt und umgekehrt: Die Schrumpfung zur Singularität setzt die Ausdehnung aus der Perspektive des Schrumpfenden voraus. Für die Schrumpfung gibt es jedoch eine Grenze: Den Schwarzschildradius, der in der physikalischen Wirklichkeit nie erreicht werden kann, auch da verlassen Hawkins und andere gerne die Reinheit der Logik. Das heißt, sowohl unendliche große Ausdehnung als auch dimensionslose Singularitäten werden nie erreicht und die Ausdehnung nach Unendlich geht mit der Schrumpfung nach null einher. Beides jedoch wird nie ereicht.
Auf den Zahlenstrahl übertragen
In einem sinnvollen Gesamtsystem kommt Unendlichkeit nur vor, wo auch Singularität vorkommt. Zu einem Zahlenstrahl mit einem unendlich kleinen Punkt, dem Punkt 1 z. B. ohne jede Ausdehnung wäre logisch zum nächsten Punkt der Abstand unendlich zuzuweisen! Mathematisch wären hier keine "Unlogiken" mehr möglich, denn es gilt: Unendlich als Abstand ist nicht durch den Punkt teilbar, weil beide einen anderen System angehören. Zwei Punkte können nicht auf einem Zahlenstrahl vorkommen, weil zwischen beiden ein unendlicher Abstand liegen müsste. Kommt also mehr als ein Punkt vor, so sind diese nicht dimensionslos und der Zahlenstrahl ist nicht unendlich lang!
Ausblick
Eine Mathematik, die sich auf diese Weise konsequent von der Unendlichkeit trennen würde, wäre in Bezug auf die Beschreibung physikalischer Vorgänge angesichts der Begrenzungen durch Messgenauigkeiten und den Grenzen der Quantenphysik vollkommen ausreichend, sie würde aber die Mathematiker zwingen, aus teilweise absurden Gedankengebäuden sich wieder der Realität zuzuwenden und die Zusammenhänge logisch zu ergründen, die unsere Welt und den Kosmos bestimmen. Der Gedanke der Unendlichkeit ist eine Flucht vor der Wirklichkeit in weltfremde Illusionen, sie dient niemanden und schadet denen, die sich Tag für Tag damit beschäftigen. Eine Mathematik ohne "unendlich" würde der menschlichen Vorstellungskraft folgen, und nur das erklären, was auch vorstellbar ist, und das sind ausschließlich endliche, begrenzte Welten. Die Unendlichkeit ist ein Fluchtpunkt um den Anforderungen der Wirklichkeit zu entkommen, aber gerade heute brauchen wir die Fähigkeit der begabten Mathematiker, um die Probleme auf unserem Planeten lösen zu können.
